深入配方设计:Laplace方程的推导

我要接着讲一些化妆品科学方面的内容。特别是配方开发这一块。

当我想到哪些内容可以讲的时候，热力学第一定律相关的拉普拉斯方程是我首先想到的一个公式。这与配方乳化，泡沫，工艺开发都有着非常相关的内容。甚至可以说是建立在此方程之上。

作为基础科学，本篇回忆一下教课书内容，推导出拉普拉斯(Laplace)方程。

第1步：从热力学第一定律开始

热力学第一定律是涉及热现象领域内的能量守恒和转化定律，反映了不同形式的能量在传递与转换过程中守恒。表述为：物体内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所做的功的总和 。即热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换，但是在转换过程中，能量的总值保持不变。其推广和本质就是著名的能量守恒定律。

我们从能量守恒角度分析。对于一个封闭系统，热力学第一定律写作：

其中：

U：内能
S：熵
V：体积
A：界面面积
γ：表面张力（单位为能量/面积）

第2步、考虑一个微小的变形：球形液滴膨胀

我们以一个 球形液滴为例，它被气体包围。设液滴半径为 R。

液滴体积：

表面积：

液滴体积增加一个微小量 dV，同时表面积也变化 dA。

我们现在考虑这样一个过程：液滴在恒温下缓慢膨胀，不产生熵变（即 dS = 0），所以：

另一方面，外界对系统做功为：

根据热力学第一定律：

移项得到：

第3步：计算 dA/dV

我们用数学方法来计算：

所以：

这对应的是一个 球形界面 的情况。

第4步：推广到任意弯曲界面：Laplace方程

对于任意弯曲的界面，两个主曲率半径分别是 R1 和 R2，则平均曲率是：

对应的界面面积与体积变化的关系为：

因此，最终我们得到 Laplace方程：

这样通过热力学第一定律和能量最小化原理，我们推导出了Laplace方程，很明显地说明了：

表面张力 是造成压力差的根本原因；

曲率越大（曲率半径越小），压力差越大；

这个公式在解释毛细现象、乳液稳定性等现象中至关重要。

是深刻理解配方的基础。